Доказательство изучается не только логикой формальной. Вопросы доказательства в связи с практикой, в связи с историческим развитием познания, с развитием наук, в связи с историческим развитием логических приёмов и способов, используемых в доказательствах, изучаются логикой диалектической. — Прим. ред.
§ 1. Научное мышление и доказательство
Необходимая для каждой науки связь её истин есть отражение связи реальной, существующей независимо от науки и от всякого мышления. Взаимоотношения научных положений являются отражением взаимоотношений вещей, их свойств, их отношений и их законов.
Но связь научных истин в подавляющем большинстве случаев не видна сразу, прямо и непосредственно. Обоснованность научной истины обусловливающими её связями вещей устанавливается в итоге обстоятельного и многостороннего рассмотрения.
Только очень небольшая часть положений науки принимается в качестве истин без всякого доказательства. Это так называемые аксиомы — вроде положения о том, что если к равным величинам прибавить равные, то получатся также равные. Да и аксиомы — не безусловно самоочевидные истины, а положения, принятие которых в систему науки оправдывается всеми результатами, следующими из этого принятия и удостоверяемыми практикой.
Аксиомы получили значение недоказываемых истин только потому, что лежащие в их основании простейшие отношения вещей проверены всем многотысячелетним развитием человеческой практики. Аксиомы составляют в каждой науке небольшую часть её положений. Все остальные положения выясняются в качестве истин не непосредственно и не отдельно от всех других истин, а путём доказательства, т. е. из установления необходимых связей, в каких они находятся с другими истинами.
Поэтому доказательство — не второстепенный элемент, а жизненный нерв научного мышления, первейшее и необходимейшее условие научности всякого утверждения.
В стремлении науки к доказательности обнаруживается одна из коренных и существеннейших черт научной мысли. Наука и научная мысль не терпят голословности. Научным любое утверждение становится только тогда, когда оно обосновано.
При этом обоснование всегда требуется не только в математике, где изложение результатов исследования принимает форму длинной цепи доказательств. Таким же непременным условием обоснованности положений доказательство является во всех науках — естественных и общественных.
Неотразимую силу убеждения придаёт мысли не субъективная уверенность, но убеждение обоснованное, доказанное.
По мнению многих современных реакционных буржуазных философов, доказательность — будто бы не обязательное качество мышления. Современные идеалисты требуют пересмотра вопроса о значении доказательности в логике, философии, в науке.
Это стремление философов и логиков империалистической буржуазии очень ясно выражает их классовый интерес: реакционные, антинаучные взгляды доказаны быть не могут, ибо находятся в вопиющем противоречии с действительностью.
На заре своего развития прогрессивная в то время буржуазная мысль устами одного из великих учёных, Б. Паскаля, провозглашала, что научное мышление требует «никогда не утверждать никакого положения, которое не было бы доказано истинами, уже известными».
Теперь же прагматисты, интуитивисты и т. п. выступают против тех философов и логиков, которые считаются с принципом доказательности, обоснованности мышления. Уже Шопенгауэр утверждал, будто «не доказанные суждения, не их доказательства, а суждения, непосредственно почерпнутые из интуиции и на ней вместо всякого доказательства основанные, — вот что в науке является тем, чем солнце в мироздании...»1
Один из столпов прагматизма — Уильям Джемс также заявлял о «нерациональности» всей действительности, отказывался от логики как орудия мышления. «Что касается меня, — заявил Джемс, — то я счёл себя в конце концов вынужденным отказаться от логики, отказаться от неё открыто, честно и раз навсегда... Я открыто предпочитаю называть действительность, если и не иррациональной, то, по крайней мере, не-рационалLной в своей структуре...»2
1 А. Шопенгауэр, Мир как воля и представление, т. I, М. 1900, стр. 67.
2 У. Джемс, Вселенная с плюралистической точки зрения, М. 1911, стр. 117.
Однако фактом, убийственным для отрицателей доказательства, является то, что ненужность доказательства они пытаются (разумеется, безуспешно) доказывать. Всё же — доказывать! Так на деле вынуждены они признать над собой безусловную власть одного из непреложных логических принципов.
Логичность мышления проявляется, в частности, в доказательности, обоснованности. Напротив, первое проявление нелогичности мышления — голословность, необоснованность, пренебрежение к строгим условиям и правилам доказательности.
§ 2. Строение доказательства
Во всяком доказательстве — безотносительно к тому, что именно в нём доказывается, — всегда имеются: Г) тезис, 2) основания доказательства (аргументы) и 3) способ доказательства (демонстрация).
1. Тезис доказательства
Тезисом называется суждение, истинность или ложность которого выясняется посредством данного доказательства. Истинность доказываемого тезиса обычно не очевидна. Так, доказываемое в геометрии положение о том, что площадь круга равняется произведению числа, выражающего отношение длины окружности круга к длине его диаметра,на квадрат радиуса круга, не есть положение самоочевидное. Истинность его обнаруживается доказательством.
Даже в случаях, когда доказываемый тезис представляется очевидным, он всё же часто доказывается. Так обстоит дело, например, с положением, что диаметром круг делится на две равные части. То, что мыслится в этом положении, представляется очевидным. Однако в геометрии суждение это доказывается.
Этот пример из математики — не исключение, а иллюстрация общего правила. Наука стремится доказывать по возможности всё, что только может быть доказано, безотносительно к тому, очевидно или не очевидно доказываемое.
Это стремление не оставлять, насколько возможно, ни одного положения недоказанным вытекает, во-первых, из логического значения доказательности мышления и, во-вторых, обусловлено тем, что очевидность часто обманчива. Так, если мы станем между рельсами на полотне желс-зной дороги и поглядим вдаль, нам покажется, будто рельсы, параллельные на недалёком от нас расстоянии, вдали начинают сходиться в одну точку. Однако в действительности рельсы и вдали от нас остаются параллельными.
Наука как можно меньше полагается на одну лишь очевидность.
Выяснение истинности или ложности тезиса есть цель всякого доказательства. Доказательство, посредством которого выясняется истинность тезиса, называется просто доказательством.
Доказательство, посредством которого выясняется ложность тезиса, называется опровержением. Опровергнуть некоторый тезис — значит доказать его ложность.
Независимо от степени субъективной уверенности доказывающего в истинности того, что доказывается, конечный успех доказательства возможен лишь в том случае, если доказываемый тезис истинен по существу своего содержания. Можно успешно доказать истинность лишь того, что действительно истинно, равно как можно успешно доказать ложность только того, что действительно ложно.
Разумеется, истинность тезиса до того, как он доказан, не видна, но само соответствие тезиса действительности непременно должно существовать, для того чтобы тезис вообще мог быть доказан. Если тезис сам по себе истинен, всегда существует возможность доказать его истинность. Надо только найти верный способ такого доказательства. История наук знает немало случаев, когда положения, впоследствии оказавшиеся истинными, первоначально доказывались неточно или даже ошибочным способом, и лишь с новыми успехами науки устранялись ошибки в способе доказательства.
Например, многие доказательства положений, разработанные античными геометрами, оказались впоследствии недостаточно строгими. Особенно интересно то, что больше всего неточностей оказалось в доказательствах самых первых, элементарнейших положений. Объясняется это тем, что античные геометры в ряде случаев полагались на наглядное представление.
Не удивительно поэтому, что в новое время для теорем, которые доказывались в античной геометрии ссылками на очевидность или наглядность, пришлось разработать более строгие и точные способы доказательства.
Но, какой бы ни была степень точности и строгости доказательства, первым условием возможной его безупречности является истинность доказываемого тезиса, т. е. адекватное отражение в нём действительности.
И точно так же для безупречности опровержения первым необходимым условием является действительная ложность опровергаемого положения, его действительное несоответствие фактам. Если опровергаемое положение ложно, то раньше или позже способ его опровержения может быть найден и будет найден.
2. Основания доказательства (аргументы)
Доказательство будет осуществлено там, где показывается, что истинность или ложность некоторого тезиса необходимо следует из истинности или ложности некоторых положений, уже ранее доказанных, признанных истинными, а также из выясненного содержания основных для данной науки понятий. Все положения, на которые опирается доказательство и из которых необходимо следует истинность доказываемого тезиса, называются основаниями, или аргументами, доказательства.
Так, при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов плоского треугольника основанием доказательства будет, во-первых, ранее установленное содержание таких понятий геометрии, как «плоский треугольник», «внутренний угол», «смежные углы», «параллельность линий», «внутренние накрест лежащие углы», «соответственные углы». Во-вторых, основаниями доказательства данной теоремы будут некоторые ранее принятые в качестве истинных или ранее доказанные положения геометрии Эвклида. Такова принимаемая в геометрии Эвклида аксиома, что через точку вне данной прямой в одной с нею плоскости может быть проведена одна, и только одна, прямая, не пересекающаяся с данной прямой. Таково доказываемое в геометрии Эвклида положение о том, что образованные пересечением прямой двух параллельных линий внутренние накрест лежащие и соответственные углы равны между собой. Таково же доказываемое в геометрии Эвклида положение о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым.
Основаниями доказательства теоремы о сумме внутренних углов треугольника эти положения являются потому, что принятие и доказательство их в качестве истинных с необходимостью приводят к признанию истинным также и положения о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым.
Основания доказательств заключают в своём составе положения различного типа. В число оснований входят: а) положения об удостоверенных фактах, б) определения, в) аксиомы, г) доказанные ранее данной наукой положения, или теоремы.
а) Положения об удостоверенных фактах как основания доказательства
Положения об удостоверенных фактах — чрезвычайно важный вид оснований. За исключением математических наук, опирающихся на факты не непосредственно, а посредством обобщённых понятий об отношениях между объектами, во всех науках доказательство основывается на положениях об удостоверенных (прямо или косвенно) фактах. В огромном числе случаев доказать истинность положения — значит показать, что истинность эта — прямое следствие из положений об известных, хорошо удостоверенных файтах. И напротив, доказать ложность положения — во множестве случаев значит удостовериться в фактах, противоречащих этому положению.
На значение фактов для доказательства не раз указывали корифеи мировой науки.
В. И. Ленин говорил, что «точные факты, бесспорные факты — ..вот что особенно необходимо, если хотеть серьезно разобраться в сложном и трудном вопросе...»1
«Факты, — писал академик И. П. Павлов, — это воздух учёного. Без них вы никогда не сможете взлететь. Без них ваши «теории» — пустые потуги»2.
Поэтому безупречность доказательства определяется (в числе прочих условий) умением находить факты, либо обосновывающие доказываемое положение, либо несовместимые с ним и тем самым его опровергающие. Особую доказательную силу имеют факты опровергающие. Указание фактов, подтверждающих доказываемое положение, часто бывает ещё далеко не достаточно для строгого доказательства его истинности. Такое указание часто обосновывает истинность положения только в пределах тех фактов, которые были найдены для его подтверждения. Зато достаточно обнаружить хотя бы один факт, противоречащий доказываемому положению, чтобы обнаружить тем самым полную или по крайней мере частичную ложность этого положения.
Если бы факты, подтверждающие доказываемое положение, были сами по себе вполне достаточны для строгого и полного его доказательства, то в таком случае индукция через простое перечисление была бы самым надёжным способом доказательства. Известно, однако, насколько ненадёжно, недостоверно обобщение, основывающееся только на том, что в пределах наблюдения пока что не обнаружены факты, ему противоречащие. Любой такой факт, найденный впоследствии, сразу опрокидывает или по крайней мере ограничивает обобщение.
Окружающая нас действительность настолько сложна и многообразна, что в подтверждение любого положения, даже явно Ездорного, можно подобрать большее или меньшее число отдельных фактов. Однако то обстоятельство, что существуют одновременно и такие факты, которые это же положение опровергают, говорит о том, что единичные факты, взятые сами по себе, в отрыве друг от друга и от окружающих условий, ещё мало что доказывают.
Поэтому факты только тогда получают значение оснований доказательства, когда они берутся не изолированно, не поодиночке, а рассматриваются в их взаимосвязи как совокупности, представляющие выражение общих ими управляющих законов.
б) Определения как основания доказательства
В состав оснований доказательства входят также и определения основных понятий данной науки. Доказательство есть переход от положений, ранее принятых, к некоторому новому положению, истинность которого необходимо следует из истинности принятых положений. Однако не все из числа этих заранее принимаемых положений доказываются.. Некоторые из них представляют собой просто определения основных понятий науки. Так, доказательство теоремы эвклидовой геометрии о сумме внутренних углов плоского треугольника опирается не только на ранее доказанные теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих углов, соответственных углов и о свойствах смежных углов и не только на принимаемое без доказательства положение о параллельных, но также и на определение понятий «плоский треугольник», «внутренние углы плоского треугольника», «параллельные линии», «внутренние накрест лежащие углы», «соответственные углы», «смежные углы», «прямые, углы».
Но из того, что определения в качестве определений не доказываются, а просто формулируются, отнюдь не следует, будто, они. принимаются произвольно или представляют условные «соглашения». И в математических науках, и в естествознании, и в науках. общественных определения, если они научны, всегда отражают объективно существующие явления, законы действительности.
Определения, необходимые для данного доказательства, вовсе не обязательно должны формулироваться в самом данном доказательстве. Чаще всего они сформулированы раньше этого доказательства и в нём принимаются как данные. Кроме того, определяются далеко не все понятия, входящие в состав данного доказательства. Есть предметы настолько простые и настолько всем, известные, что определение их не имеет смысла. Обычно попытки такого определения приводят или к тому, что в определяющем повторяется определяемое (круг в определении), или к тому, что до определения понятное и ясное после определения становится непонятным и неясным.
Таким образом, задача науки в отношении определения понятий, входящих в основания доказательства, состоит в том, чтобы избежать двух противоположных ошибок: 1) не оставить неопределёнными те понятия, которые должны быть определены, и 2) не пытаться определять те понятия, которые по своей крайней простоте не нуждаются в определении.
в) Аксиомы как части оснований доказательства
Положения об удостоверенных фактах и определения входят в число оснований самых различных наук: естественных и общественных.
В математике, механике, теоретической физике и в некоторых других науках кроме определений и удостоверенных фактов в число оснований доказательства входят ещё аксиомы.
Так называются положения, которые предполагаются истинными, но в пределах данной науки не доказываются.
Известно, например, что доказательство теоремы эвклидовой геометрии о равенстве суммы внутренних углов плоского треугольника двум прямым опирается не только на ранее доказанную теорему о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым, но и на теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих и соответственных углов, а эти теоремы в свою очередь опираются на положение, согласно которому через данную точку вне данной прямой в одной с ней плоскости можно провести одну, и притом только одну, прямую, которая ни при каком продолжении её в обе стороны от данной точки не пересечётся с данной прямой. Положение это уже не теорема, а аксиома.
Аксиомой это положение является потому, что оно принимается без доказательства. Положение это утверждает, что возможно неограниченно продолжить прямую так, чтобы последняя нигде не пересекалась с данной прямой. Но совершенно очевидно, что утверждение это не может быть проверено или доказано: как бы далеко мы ни продолжали прямую, продолжение её будет для нашего наглядного представления ограниченным. В лучшем случае можно сказать, что в тех пределах, в каких прямая продолжена нами, она остаётся параллельной данной прямой. Но будет ли она параллельной и при дальнейшем (ещё нами не воспринятом) неограниченном её продолжении — это остаётся недоказанным.
Так как аксиомы не обладают безусловной очевидностью, то для решения вопроса о том, какие из небезусловно очевидных положений будут в данной науке доказываться, а какие будут приняты в ней без доказательства, т. е. в качестве аксиом, — необходимо некоторое основание. Таким основанием не может быть ни произвол, ни условное соглашение, ни субъективная точка зрения.
Основанием для выбора системы, или группы, аксиом, входящих в начальные основания науки, являются следующие требования:
1) Выбранная группа аксиом должна содержать в себе допущения, между которыми нет противоречий. Другими словами, группа аксиом должна быть такова, чтобы, опираясь на неё, нельзя было доказать какое-либо суждение и отрицание этого суждения.
2) Выбранная группа аксиом должна быть такова, чтобы из неё (а также из принятых наукой определений) могла быть последовательно выведена вся совокупность теорем данной науки. При этом число аксиом не должно превышать того, какое необходимо и достаточно, чтобы с помощью данной группы аксиом могли быть доказаны все теоремы данной науки.
3) Ни одна из принятых в данной науке аксиом не может быть получена как вывод ни из какой другой аксиомы или других аксиом той же науки, т. е. каждая аксиома должна быть предположением, вполне независимым от предположений, выражаемых всеми другими аксиомами данной науки.
Последнее свойство аксиом нуждается в объяснении. Свойство это нельзя понимать так, будто аксиома вообще не может быть выводима ни из каких других положений. Аксиома не может быть выводима из других аксиом только в рамках данной системы науки. Так 11-я аксиома Эвклида (постулат параллельных) не может быть выведена из других аксиом геометрии Эвклида. Именно поэтому все попытки доказать эту аксиому в рамках геометрии Эвклида с её аксиомами и постулатами потерпели неудачу.
Но можно взять другую группу аксиом геометрии, в которой постулат параллельных, являющийся в системе геометрии Эвклида независимой аксиомой, будет в этой другой системе теоремой, т. е. положением выводимым.
Таким образом, аксиоматическое значение некоторых положений науки не есть безусловное свойство этих положений. Разница между аксиомой и теоремой — не безусловная. Положение, которое в одной системе науки является аксиомой, оказывается теоремой в другой системе науки с другой совокупностью аксиом. И наоборот: положение, доказываемое в данной системе науки как её теорема, не доказывается, а принимается в качестве аксиомы в другой системе науки с другой совокупностью аксиом.
В конечном счёте выбор той или другой группы аксиом в качестве принятой в науке системы оснований её доказательств обусловливается и оправдывается не самоочевидностью этих оснований, а всей суммой результатов, к которым приводят доказательства науки, опирающиеся на принятые аксиомы. Только плодотворность результатов, полученных с помощью принятых в данной науке аксиом, составляет основание для их выб9ра. Тем самым выбор аксиом для всей системы доказательств науки связывается с их проверкой показаниями практики, опыта людей.
Аксиомы как части оснований доказательства отнюдь не «возвышаются» над опытом, отнюдь не предшествуют опыту, а составляют результат человеческой практики.
Все указанные выше требования, предъявляемые при выборе аксиом, имеют силу, разумеется, только в отношении тех наук, которые имеют в числе своих оснований аксиомы, или, как говорят, допускают аксиоматическое построение. Таковы математика, теоретическая физика. Но существует обширный класс наук, в которых аксиоматическое построение неприменимо. В этих науках аксиомы не входят в число оснований науки. Такова, например, история.
г) Доказанные ранее положения науки как основания доказательств. Непосредственные и предшествующие основания доказательства. Начальные основания
Рассматривая примеры многих доказательств, нетрудно убедиться, что ранее доказанные положения, на которые опирается доказываемый тезис, используются в ходе доказательств либо непосредственным, либо опосредствованным образом.
Непосредственно используются те положения, на которые прямо ссылаются в ходе доказательства как на положения, из истинности которых следует истинность доказываемого тезиса. Так, для теоремы Пифагора одним из непосредственно используемых для её доказательства положений будет 41-я теорема первой книги Эвклида. Теорема эта утверждает, что если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника. Теорема эта принадлежит к непосредственным основаниям теоремы Пифагора, так как при доказательстве последней Эвклид дважды ссылается — в самом ходе доказательства — на41-ю теорему. Иными словами, 41-я теорема прямо входит в число оснований, истинность которых приводит к признанию истинности теоремы Пифагора.
Опосредствованным образом используются для доказательства те положения, на которые в самом ходе данного доказательства прямо не ссылаются, но при помощи которых были ранее доказаны непосредственные основания данного доказательства. Положения эти могут быть названы предшествующими основаниями доказательства.
Так, для той же теоремы Пифагора одним из таких ранее доказанных, или предшествующих, оснований её доказательства будет 38-я теорема пэрвой книги Эвклида. Теорема эта утверждает, что треугольники, находящиеся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой. Эта теорема не входит в число непосредственных оснований доказательства теоремы Пифагора, так как в ходе этого доказательства Эвклид на 38-ю теорему не ссылается. Но она входит в число оснований доказательства опосредствованным образом, будучи одним из оснований, при помощи которых была доказана 41-я теорема. А эта последняя есть, как мы уже знаем, одно из непосредственных оснований доказательства теоремы Пифагора.
Чем дальше развивает наука доказательства своих положений, тем больше становится число предшествующих оснований доказательства каждого нового положения. Если, рассматривая данный тезис науки, мы задались бы целью выяснить все основания, на которые опирается его доказательство, то оказалось бы, что непосредственные основания его доказательства опираются
на некоторые предшествующие им основания, эти последние в свою очередь — на другие предшествующие основания и т. д.
Однако каким бы большим ни было число предшествующих оснований данного доказательства, оно не может быть бесконечным.Рано или поздно мы дойдём до таких предшествующих оснований, которые ни из каких предшествующих им оснований уже не могут быть выведены.
Основания доказательства, которые не могут быть выведены ни из каких предшествующих им оснований, называются начальными основаниями данной науки.
Начальными основаниями для данной науки являются: положения об удостоверенных единичных фактах, определения и аксиомы. Теоремы не могут быть начальными основаниями, так как начальные основания ниоткуда не выводятся: напротив, всякая теорема — доказываемое положение, а все доказываемые положения выводятся из оснований — непосредственных или предшествующих.
Все определения и аксиомы, которые могут встретиться в отдельных доказательствах в качестве непосредственных оснований или к которым доказательство может быть возведено как к своим предшествующим основаниям, входят в число начальных оснований науки. При этом, однако, в доказательства эти основания входят в каждом отдельном случае лишь частично. Так, доказательство, например, теоремы Пифагора опирается непосредственно не на все, а лишь на некоторые аксиомы, не на все, а лишь на некоторые определения, входящие в круг начальных аксиом и определений геометрии.
Напротив, в числе начальных оснований науки находится не часть аксиом, а все аксиомы данной науки, не часть определений, а все её определения.
Чем дальше от начальных оснований данной науки отстоит доказываемое положение, тем большим становится число не непосредственных, а предшествующих оснований доказательства. Каждое доказанное ранее положение, на которое в данном доказательстве наука ссылается как на одно из непосредственных оснований доказываемого тезиса, обусловлено в свою очередь длинным рядом предшествующих ему положений. Ни на одно из них в пределах данного доказательства не ссылаются, иначе доказательство каждой теоремы было бы повторением всего предшествующего этой теореме содержания науки со всеми её доказательствами. В то же время все они могут быть найдены в соответствующем месте системы науки, где они полностью излагаются
Наличие в далеко продвинувшейся науке длинной цепи предшествующих оснований, предполагаемых каждым непосредственным основанием любого доказательства, делает особенно важным условием состоятельности доказательства истинность всех оснований доказываемого тезиса.
В самом деле, непосредственное для данного доказательства основание есть только звено предшествующей ему цепи обусловливающих его оснований. Если эта цепь длинна и если какое-нибудь из её звеньев окажется ложным, то и заключительное звено — данное непосредственное основание доказательства — тоже может оказаться ложным. А в таком случае и доказываемый тезис, как опирающийся на ложное основание, может оказаться ложным.
Поэтому в качестве оснований доказательства должны быть принимаемы только истинные, строго доказанные, проверенные и удостоверенные в своей истинности положения. Любой вид оснований, вообще говоря, сказывается на истинности результата. Поэтому ни входящие в число оснований доказательства положения об удостоверенных фактах, ни определения основных понятий науки, ни аксиомы, ни уже ранее доказанные положения науки не должны быть ложными.
Основания доказательства не должны быть даже сомнительными. Сомнительность основания есть по крайней мере возможность его ложности, а возможность ложности в основаниях доказательства делает возможным ложность самого доказываемого тезиса. Поэтому доказательство, опирающееся на сомнительные основания, не есть, строго говоря, доказательство. Только вполне удостоверенная истинность всех оснований, на которые опирается доказательство, делает доказательство путём и средством к отысканию новой истины.
3. Способ доказательства (демонстрация)
Истинность доказываемого или ложность опровергаемого тезиса, вообще говоря, не могут быть обнаружены непосредственно. Чтобы убедиться в истинности доказываемого тезиса, следует указать истинное основание, опираясь на которое мы с необходимостью должны признать истинным также и доказываемый тезис.
Однако только в немногих случаях указание истинных оснований сразу, в виде непосредственного вывода, даёт истинность доказываемого тезиса. Так, если требуется доказать, что некоторые из равных между собой углов — прямые углы, то для доказательства истинности этого утверждения достаточно сослаться как на основание на истину о том, что все прямые углы равны между собой. Из этого основания сразу, непосредственно, по законам одной лишь логики (именно— согласно правилам обращения) получается истинный вывод, что некоторые из равных между собой углов — прямые.
Но в огромном большинстве случаев одного лишь знания истинных оснований, ведущих к признанию истинности тезиса, недостаточно. Необходимо, кроме того, показать, какова связь,
необходимо ведущая от истинности данных оснований к истинности обусловленного ими тезиса. Связь эта во многих случаях непосредственно не видна и требует выяснения.
Так, если ученик знает все определения, все аксиомы и все теоремы, из истинности которых как из оснований выводится истинность теоремы Пифагора, это ещё не значит, что он знает доказательство теоремы Пифагора. Для знания доказательства требуется знать, какова связь между всеми основаниями теоремы Пифагора, какова последовательность оснований и выводов из них, ведущая к признанию истинности доказываемого в этой теореме положения.
Последовательность, или связь, оснований и следующих из них выводов, имеющая результатом необходимое признание истинности доказываемого тезиса, называется способом доказательства, или демонстрацией.
Демонстрация имеет свою логическую специфику в отличие от составных частей доказательства — тезиса и основания. И тезис и каждое из оснований представляют собой отдельные суждения. Напротив, демонстрация никогда не есть ни отдельное суждение, ни простая сумма суждений. Демонстрация всегда есть логическая связь суждений, приводящая к определённому логическому результату. Это более или менее длинная цепь умозаключений, посылками которых являются основания данного доказательства, а последним заключением — доказываемый тезис.
Так, при доказательстве теоремы эвклидовой геометрии о сумме внутренних углов треугольника (см. рис. 6) мы сначала продолжаем сторону треугольника ABC, например, сторону АС до точки Е. (...)
Всё рассуждение в целом — это демонстрация. Основания доказательства не выделяются в группу положений, отдельных от демонстрации, но появляются каждое на том месте, какое определяется для него логической связью соответствующих звеньев демонстрации.
Так как демонстрация — порядок связи между основанием и тезисом — есть порядок, не просто усматриваемый из основания, но такой, который ещё должен быть найден, то доказательство одного й того же положения науки может быть более или менее сложным или простым, громоздким или кратким и т. д. Самый порядок, план доказательства может быть различным.
Связь оснований, ведущая к усмотрению истинности доказываемого тезиса, — не единственная. А так как связь эта не дана вместе с самими основаниями, но ещё должна быть открыта, то доказательство есть творческая задача науки, которая творческими же средствами и решается.
В ряде частных случаев задача доказательства оказывается настолько сложной, что разрешение её требует от учёных огромных трудов на протяжении целых десятилетий или даже столетий. До сих пор не найдено доказательство теоремы Ферма о том, что уравнение хп -=уп-ггп не может иметь решений для всех целых значений п, больших двух. В течение почти двух с половиной тысячелетий оставалось недоказанным существование атома, пока успехи новейшей экспериментальной и теоретической физики не принесли, наконец, это доказательство. Гениальная догадка Джордано Бруно о существовании планет, обращающихся вокруг других звёзд, получила доказательное подтверждение только в последние десятилетия.
С другой стороны, там, где задача доказательства успешно разрешалась, пути и средства её разрешения у разных учёных были не всегда одинаковы. Уже античная математика знала не одно единственное, а целый ряд доказательств теоремы Пифагора. И это типично. Доказываемый тезис — один, логические законы мышления — одни, но способы, ведущие к признанию истинности тезиса, могут быть разными. Способы эти определяются: 1) основаниями, из которых выводится тезис, 2) связью между основаниями и тезисом. Связь эта не видна из оснований, отдельно взятых. Но так как от доказываемого тезиса к уже доказанным положениям можно перейти не одним единственным способом, доказательство способно к развитию и совершенствованию. От примитивных способов доказательства, опиравшихся на неточные, приблизительные и потому часто ошибочные наглядные представления, до современных доказательств, опирающихся на точно определённые понятия, на независимые одна от другой, свободные от противоречий, достаточные в своём числе аксиомы, а также на строго доказанные теоремы, практика доказательства прошла большойпуть уточнения и совершенствования. Соответственным образом изменилась, уточнилась и логическая теория доказательства.
§ 3. Виды доказательств
Доказательства делятся на виды в зависимости от: 1) цели доказательства, 2) способа доказательства и 3) роли опытных данных как оснований доказательства.
1. Различие доказательств по цели доказательства
В отношении цели доказательство может быть или доказательством истинности, или доказательством ложности некоторого положения. Доказательство, имеющее целью установление истинности тезиса, называется просто доказательством. Доказательство, имеющее целью установление ложности тезиса, называется опровержением.
С логической точки зрения опровержение есть доказательство того, что между опровергаемым положением и другими положениями, о которых известно, что они истинны, существует отношение противности или противоречия. Так как два противных или противоречащих суждения не могут быть — согласно закону противоречия — оба в одно и то же время истинными, то из истинности суждений противных или противоречащих необходимо следует ложность опровергаемого положения. С этой точки зрения, опровергнуть данное положение — значит найти такие положения, которые были бы противными или противоречащими данному и о которых было бы известно, что они истинны.
Так, положение «Ни одно растение не питается животным» опровергается противопоставлением ему истинного положения о существовании растений, которые питаются насекомыми, рачками, личинками комаров, инфузориями и т. д. Здесь ложность опровергаемого общего суждения выводится из истинности противоречащего ему частного суждения.
Положение естествоиспытателей-метафизиков «Ни один вид не изменяется и не переходит в другой» оказалось опровергнутым, когда было доказано, что «Все виды изменяются и способны переходить в другие виды». Здесь ложность опровергаемого общего суждения выводится из доказанной истинности противного общего суждения.
Опровержение — часто применяемый вид доказательства. И в практической жизни и в науке, поставленной на службу жизни, поиски истицы неотделимы от опровержения ложного. Истина пускает корни только в почву, очищенную от заблуждений. История науки в бесчисленных случаях доказывает, что условием движения науки вперёд является непримиримая борьба с тем, что противоположно истине. Передовая наука,
не отделяющая себя от народа, работающая на благо народа, несовместима ни с каким заблуждением ни в какой области знания.
Разумеется, для полного искоренения заблуждения одного лишь противопоставления истины заблуждению недостаточно. Жизненным корнем заблуждения в классовом обществе является классовый интерес. Именно классовый интерес побуждает реакционных деятелей извращать истину, насаждать заблуждение. В противоположность этому рабочий класс и его марксистско-ленинская партия всегда заинтересованы в установлении истины, в искоренении заблуждения.
Но как бы ни была велика роль практического интереса в деле устранения заблуждения, без теоретического разоблачения лжи борьба истины против заблуждения не может быть успешной. Необходимым логическим средством и условием этой борьбы является опровержение.
2. Различие доказательств по способу доказательства
По способу доказательства доказательство бывает или прямым, или косвенным.
Прямое доказательство ведёт через рассмотрение оснований и выводов, опирающихся на основания, к усмотрению истинности доказываемого тезиса. Схема этого вида доказательства: из данных оснований (а, b...) необходимо следуют положения k, l; из этих последних необходимо следует доказываемый тезис р. Так как все основания доказательства (а, b...) — истинны и так как логическая связь, ведущая от а, b... через k, l... к положению р, — правильная, то доказываемый тезис р — истинный.
Прямое доказательство устанавливает истинность доказываемого тезиса посредством исследования самого доказываемого тезиса. Исследование это выясняет, что так как доказываемый тезис необходимо следует из некоторых положений и так как положения эти истинны, то доказываемый тезис также будет истинным.
Косвенное доказательство устанавливает истинность доказываемого тезиса, исследуя не самый тезис, а некоторые другие положения. Эти положения так связаны с доказываемым тезисом, что из установления их ложности необходимо вытекает истинность доказываемого тезиса. В косвенном доказательстве поэтому задача состоит в выяснении ложности положений, обусловливающих истинность доказываемого тезиса.
Косвенное доказательство бывает или разделительным, или апагогическим (от греческого слова apagoge — вывод).
В разделительном косвенном доказательстве доказываемый тезис рассматривается как одно из некоторого числа предположений, в своей сумме исчерпывающих все возможные по данному вопросу предположения. Доказательство состоит в том, что все эти
предположения опровергаются, кроме одного, которое и есть доказываемый тезис. Тем самым доказывается, что этот тезис, как единственное из всех возможных предположений, которое осталось неопровер гнутым, должен быть истинным.
Если, например, установлено, что имело место преступление, которое могли совершить только лица А, В, С и D), и если, кроме того, установлено, что ни В, ни С, ни D не совершили его, то тем самым доказано, что престуйление совершило лицо А.
Разделительное доказательство часто применяется в математических науках, так как именно в этих науках особенно легко достижимо исчерпывающее перечисление всех видов данного рода или всех предположений, возможных в исследуемом случае.
Апагогическое косвенное доказательство устанавливает истинность доказываемого тезиса посредством опровержения противоречащего ему положения. Из ложности последнего следует — на основании закона исключённого третьего — истинность доказываемого тезиса. В математических науках апагогическое доказательство принимает особую форму, называемую обычно «доказательством от противного1.
1 Название это, общепринятое в математике, не точно, так как в этих доказательствах истинность доказываемого тезиса выводится из ложности не противного, а противоречащего ему суждения.
Косвенное апагогическое доказательство имеет две части. Сначала при помощи особого приёма доказывается ложность тезиса не-р, противоречащего доказываемому тезису р. А именно: предполагают, что тезис не-р, противоречащий доказываемому, — истинный. Этот противоречащий тезис (не-р) вводится в число оснований доказательства (а, б, с, д), о которых известно, что они истинны. Затем из получившихся таким образом оснований (а, б, с, д... не-р) развивают ряд необходимо следующих из них выводов. Выводы эти развивают до тех пор, пока не получится какое-нибудь заключение, противоречащее одному из оснований, например основанию а. Так как два противоречащих друг другу положения не могут быть — по закону противоречия — оба сразу истинными и так как известно, что положение а истинно, то заключение не-а необходимо должно быть ложно. Итак, развивая выводы из принятых оснований, мы получили ложное заключение не-а. Но заключение не-а может быть ложно или оттого, что ложно какое-нибудь из оснований, на которые опирается не-а, или оттого, что логическая связь между основаниями (а, б, с, д... не-р) и заключением (не-а) — неправильная. Так как в нашем случае логическая связь — по предположению — правильная и так как известно, что все основания, кроме не-р, — заведомо истинны, то ложным должно быть положение не-р.
Такова первая часть, или первая стадия, косвенного апагогического доказательства. На этой стадии выявляется ложность сделанного вначале предположения об истинности тезиса, противоречащего доказываемому. Поэтому первая часть косвенного доказательства называется reductio (deductio) ad absurdum, т. e. «приведением к нелепости».
Вторая стадия косвенного апагогического доказательства очень краткая. Предположенный истинным тезис не-р оказался ложным. Но тезис этот — противоречащий по отношению к доказываемому. На основании закона исключённого третьего из ложности суждения необходимо следует истинность противоречащего ему суждения. Поэтому из установленной, ложности не-р необходимо следует истинность р, т. е. истинность того самого положения, которое должно быть доказано.
Такова схема косвенного апагогического доказательства.
Примером этого доказательства может служить доказательство положения: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их ни продолжали». Для доказательства этого тезиса мы делаем допущение, что истинен антитезис: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются». Из предполагаемой истинности антитезиса следует, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Этот вывод является ложным суждением, так как он противоречит доказанной ранее теореме о том, что из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр. Ложность вывода свидетельствует о ложности антитезиса, а ложность антитезиса свидетельствует об истинности тезиса.
Опровержения, так же как и простые доказательства истинности тезиса, могут быть как прямыми, так и косвенными.
Прямое опровержение совершается посредством уже известного нам приёма «приведения к нелепости» (reductio ad absurdum). Для того чтобы опровергнуть какое-либо положение, надо показать, что из него в сочетании с другими достоверно истинными суждениями (аргументами) вытекают ложные следствия. Ложность следствия в правильном умозаключении всегда указывает на ложность по крайней мере одной из посылок. Но поскольку все суждения, взятые в качестве посылок, кроме опровергаемого положения, достоверно истинны, то можно сделать заключение о ложности этого положения.
Условием косвенного опровержения является доказательство истинности положения, противного или противоречащего опровергаемому тезису. Из истинности такого положения на основании закона противоречия следует ложность опровергаемого тезиса.
Если опровергаемое положение — общее, то для опровержения его достаточно доказать истинность противоречащего ему частного положения. Так, чтобы убедиться в ложности общего суждения о том, что все славянские языки имеют формы склонения имён, достаточно узнать об отсутствии форм склонения, например, в именах болгарского языка. Но если опровергаемое косвенным способом положение — частное, то для опровержения его необходимо доказать истинность противоречащего ему общего положения.
3. Различие между доказательствами ио роли в них опытных данных
Во всех науках и во всех научных доказательствах понятия, которые входят в состав доказательства, ведут своё происхождение в конечном счёте из практики, из опыта. В этом отношении не составляют исключения и доказательства математических наук. Правда, понятия, которыми пользуется математик, отвлекаются от целого ряда свойств, которые принадлежат предметам этих понятий. Математические круг, куб. шар и т. д. не существуют в опыте в том виде, в каком их мыслит ум геометра. И всё же даже самые отвлечённые понятия математики возникли в конечном счёте из опыта и на основе опыта. То же справедливо относительно математических определений и аксиом, принадлежащих к начальным основаниям всего математического знания. Как бы ни казались далёкими от опыта, а иногда даже противоречащими опыту эти определения и аксиомы, — все они в конце концов являются продуктами отвлечения от известных сторон опыта и не могли сложиться в мысли иначе, как на основе практики.
Идеалисты отрицают опытное происхождение математических понятий. При этом они опираются на то, что математика мыслит свои предметы — линии, поверхности, тела и т. д. — такими, какими они в точности никогда не бывают в действительности. Математическая линия, например, имеет лишь длину, но не имеет ни ширины, ни высоты. Математическое тело есть лишь замкнутая математическими поверхностями часть пространства, мыслимая независимо от наполняющего пространство вещества, и т. д. Опираясь на эту отвлечённость математических понятий, идеалисты утверждают, будто понятия эти не могут иметь своим источником опыт и потому являются априорными, т. е. внеопытными и доопытными.
Мнение идеализма о внеопытном и доопытном характере математических понятий совершенно несостоятельно. Энгельс говорит: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математикаимеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал»1.
Так обстоит дело с понятиями, определениями и аксиомами математики.
Сложнее обстоит дело с доказательствами. Во всех науках, кроме математических, доказательство всегда непосредственно связано с опытом. Это значит, что кроме той связи с опытом, без которой вообще не могли бы существовать никакое понятие, никакая аксиома, в науках этих в состав доказательства всегда входят такие части и такие данные, которые прямо предполагают обращение к опыту: к наблюдению, к эксперименту и т. д.
Напротив, в математических науках доказательства, если рассматривать одну логическую их сторону, а не происхождение понятий, входящих в состав доказательств, — всегда ведутся таким образом, что математику не приходится прямо обращаться к опыту помимо тех обобщений опыта, которые уже содержатся в его понятиях, определениях и аксиомах. Иными словами, опыт входит в математические доказательства не непосредственно, как он входит в доказательства физика, химика, биолога, а лишь посредством понятий, которые образуются на основе опыта, но в своём содержании являются отвлечёнными от опыта.
Это различие между науками математическими и эмпирическими, т. е. доказывающими свои положения при участии прямого обращения копыту, порождает различие в видах доказательства.
Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех обобщений опыта, которые содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими доказательствами.
Доказательства наук, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми обобщениями опыта, которые содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.
Из этих определений и объяснений ясно, что различие между двумя рассматриваемыми видами доказательства состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук предполагают опыт в качестве необходимой и последней основы и в качестве критерия истинности своих положений. Разница состоит лишь в том, что в одних доказательствах мы прямо обращаемся к опытным данным, в других — опытные данные непосредственно в процесс доказательства не включаются.
Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами — не безусловно.
Комментариев нет:
Отправить комментарий